工具：Fourier变换

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微分方程中的 Fourier 变换和数学分析中的 Fourier 变换是不一样的，在频率和系数上有区别．

Fourier 变换

定义： $\hat{f} (ξ) = \int_{R^{n}} f (x) e^{- 2 π i x \cdot ξ} d x, f \in J (R^{n})$ ，称为 Fourier 变换．

Schwarz 函数类

这里 $S (R^{n})$ 称为 Schwarz 函数类，定义为：

S (R^{n}) = {f \in c^{\infty} (R^{n}) : ⟨ x ⟩^{N} | \partial^{α} f (x) | < + \infty, \forall α, N}

这里 $⟨ x ⟩ = {(1 + | x |^{2})}^{\frac{1}{2}} \approx (1 + | x |)$ ．
Schwarz 函数的一个性质是：由定义： $| \partial^{α} f (x) | ⩽ c ⟨ x ⟩^{- N}$ ．

Fourier 变换的性质

若 $f \in S (R^{n})$ ，则有

平移变换

令 $τ_{x_{0}}$ 为平移算子， i.e. $τ_{x_{0}} f : x \mapsto f (x - x_{0})$ ，则

\hat{τ_{x_{0}} f} (ξ) = e^{- 2 π i x_{0} ξ} \hat{f} (ξ)

伸缩变换

令 $S_{λ}$ 为伸缩算子，i.e. $S_{λ} f (x) = f (λ x)$ ， $λ > 0$ ，则

\hat{S_{λ} f} (ξ) = λ^{- n} \hat{f} (λ^{- 1} ξ) .

求导变相乘

设 $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ 为多重指标， $| α | = \sum α_{i}$ ，记 $\partial_{x}^{α} = \partial_{x_{1}}^{α_{1}} \partial_{x_{2}}^{α_{2}} \dots \partial_{x_{n}}^{α_{n}}$ ， $x^{α} = x_{1}^{α_{1}} x_{2}^{α_{2}} \dots x_{n}^{α_{n}}$
则

\hat{\partial_{x}^{α} f} (ξ) = (2 π i ξ)^{α} \hat{f} (ξ) .

相乘变求导

\hat{((- 2 π i x)^{α} f)} (ξ) = \partial_{ξ}^{α} \hat{f} (ξ) .

卷积变相乘

令卷积： $(f * g) (x) = \int_{R^{n}} f (x - y) g (y) d y$ ，则若 $f, g \in S (R^{n})$ ，有 $\hat{f * g} (ξ) = \hat{f} (ξ) \hat{g} (ξ)$ ，

相乘变卷积

\hat{f g} (ξ) = \hat{f} * \hat{g} .

常用：Laplace 算子

\hat{Δ u} (ξ) = \hat{\sum \partial_{x_{i}}^{2} u} = (\sum (2 π i ξ_{j})^{2}) \hat{u} (ξ) = - 4 π^{2} | ξ |^{2} \hat{u} (ξ)

示例

示例 1

求函数 $f (x) = {\begin{cases} e^{- x}, & x > 0 \\ 0, & x ⩽ 0 \end{cases}$ 的 Fourier 变换

解

\begin{aligned} \hat{f} (ξ) & = \int_{R} f (x) e^{- 2 π i x \cdot ξ} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} e^{- 2 π i x \cdot ξ} d x \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- x (1 + 2 π i ξ)} d x \\ = - \frac{1}{1 + 2 π i ξ} e^{- x (1 + 2 π i ξ)} |_{0}^{+ \infty} \\ = \frac{1}{1 + 2 π i ξ} . \end{aligned}

示例 2

求函数 $f (x) = e^{- | x |}$ ， $x \in R$ 的 Fourier 变换。

解

e^{- | x |} = {\begin{cases} e^{- x}, & x > 0 \\ e^{x}, & x < 0 \end{cases} = {\begin{cases} e^{- x}, & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} + {\begin{cases} 0, & x > 0 \\ e^{x} & x < 0 \end{cases} = f_{1} (x) + f_{1} (- x)

于是

{(e^{- | x |})}^{\land} (ξ) = {\hat{f}}_{1} (ξ) + \hat{f_{1} (- x)} (ξ) = \frac{1}{1 + 2 π i ξ} + \frac{1}{1 - 2 π i ξ} = \frac{2}{1 + 4 π^{2} | ξ |^{2}}

示例 3

$f = e^{- x^{2}}, x \in R$

F (ξ) = \hat{f} (ξ) = \int_{R} e^{- x^{2}} e^{- 2 π i x ξ} d x

\begin{aligned} F^{'} (ξ) & = \int_{R} e^{- x^{2}} (- 2 π i x) e^{- 2 π i x \cdot ξ} d x \\ = π i \int_{R} \partial_{x} (e^{- x^{2}}) e^{- 2 π i x ξ} d x \\ = - π i \int_{R} e^{- x^{2}} \partial_{x} (e^{- 2 π i x ξ}) d x \\ = - 2 π^{2} ξ \int_{R} e^{- x^{2}} e^{- 2 π i x ξ} d x \\ = - 2 π^{2} ξ F (ξ) \end{aligned}

则 $F^{'} (ξ) = - 2 π^{2} ξ F (ξ)$ ， $F (0) = \int_{R} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}$
得 $F (ξ) = \sqrt{π} e^{- π^{2} ξ^{2}}$ ，即 $\hat{f} (x) ＝ \sqrt{π} e^{- π^{2} ξ^{2}}$ .

示例 4（重要）

若 $f (x) = e^{- | x |^{2}}$
则

\begin{aligned} \hat{f} (ξ) & = \int_{R^{n}} e^{- | x |^{2}} e^{- 2 π i x ξ} d ξ \\ = \int_{R^{n}} e^{- x_{1}^{2} - \dots - x_{n}^{2}} e^{- 2 π i (x_{1} ξ_{1} + \dots + x_{n} ξ_{n}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n} \\ = \prod_{k = 1}^{n} \int_{R} e^{- x_{k}^{2}} e^{- 2 π i x_{k} ξ_{k}} d x_{k} \\ = \prod_{k = 1}^{n} (\sqrt{π} e^{- π^{2} ξ_{k}^{2}}) = π^{\frac{n}{2}} e^{- π^{2} | ξ |^{2}} \end{aligned}

注

我们的变换与课本不同，逆变换也不同。

\begin{matrix} f (x) & x \in R^{n} & 物 理 空 间 \\ \hat{f} (ξ) & ξ \in R^{n} & 频 率 空 间 \end{matrix}

Fourier 逆变换

f^{\lor} (x) = \int_{R^{n}} f (ξ) e^{2 π i x ξ} d ξ .

一个重要的积分式

\int_{R} e^{- a x^{2} - b x} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{\frac{b^{2}}{4 a}} .